科研費による研究成果
科研費による研究成果
科学研究費 基盤研究 (C) (一般) 「解析的手法によるメビウス・エネルギーの研究」（平成29年度－令和2年度）の助成を受けていました。最終年度の令和2年度は、科学研究費 基盤研究 (B) (一般) 「非単純閉曲線に対する幾何学流の爆発のメカニズム解明と漸近解析」（令和2年度－令和6年度）に切り替え、更に令和3年度からは 科学研究費 挑戦的研究(萌芽) 「位相幾何学における変分問題のSobolev多様体を用いた解析」（令和3年度－令和5年度）も受給し、研究を継続しています。
研究の概要
結び目のエネルギーは、与えられた結び目型内における標準形をエネルギー最小元で定めるためO'Haraにより導入され、今日ではO'Haraエネルギーと呼ばれている。その中のひとつがMöbiusエネルギーであり、Möbius変換によりエネルギーを変えない事が名前の由来である。Möbius不変性は幾何学的には美しい性質であるが、解析学的にはエネルギーのスケール不変性のために変分法の直接法が利用できないという困難さを生む。各結び目型内でのMöbiusエネルギーの最小元が存在するか否かは次の部分的解答しか得られていない。すなわち、結び目型が自明であるは素である場合には最小元が存在する事が知られているが、結び目型が合成である場合には存在・非存在が明らかになっていない。数値計算により合成結び目型には最小元は存在しないと予想 (Kusner-Sullivan予想) されているが、解明には至っていない。
本研究は、Möbiusエネルギーの諸性質を解析学の手法で解明する事を目的としている。Möbiusエネルギーを理解するために、Möbiusエネルギーそのものを解析する方法に加え、O'Haraエネルギー全般を解析し、Möbiusエネルギーの特殊性を浮き挙がらせる方法も用いる。研究期間中に得られた結果は以下の通りである。
査読付き論文
- 1. T. Nagasawa, On Möbius invariant decomposition of the Möbius energy, in "New Directions in Geometric and Applied Knot Theory," (Ed.: S. Blatt, P. Reiter & A. Schikorra), De Gruyter, Berlin, 2018, pp. 36-76.
- 2. T. Nagasawa & K. Nakamura, Interpolation inequalities between the deviation of curvature and the isoperimetric ratio with applications to geometric flows, Adv. in Differential Equations 24 (9-10) (2019), 581-608.
- 3. S. Kawakami & T. Nagasawa, Variational formulae and estimates of O'Hara's energies, J. Knot Theory Ramifications 29 (4) (2020), 2050017, 22 pp.
- 4. T. Nagasawa & K. Nakamura, Asymptotic analysis for non-local curvature flows for plane curves with a general rotation number, Math. Eng. 3 (6) (2021), 1-26, https://www.aimspress.com/article/doi/10.3934/mine.2021047
- 5. A. Ishizeki & T. Nagasawa, Upper and lower bounds and modulus of continuity of decomposed Möbius energies, J. Geom. Anal. 31 (2021), 5659-5686, https://doi.org/10.1007/s12220-020-00496-x
- 6. A. Ishizeki & T. Nagasawa, Decomposition of generalized O'Hara's energies, Math. Z. 298 (2021), 1049-1076, https://doi.org/10.1007/s00209-020-02601-w
- 7. S. Blatt, A. Ishizeki & T. Nagasawa, A Möbius invariant discretization of O'Hara's Möbius energy, J. Knot Theory Ramifications 31 (3) (2022), Paper No. 2250016, 15 pp.
プレプリント
- 1. S. Blatt, A. Ishizeki & T. Nagasawa, A Möbius invariant discretization and decomposition of the Möbius energy, arXiv:1904.06818.
学会発表
- 1. S. Blatt, 長澤 壯之, 分解されたMöbiusエネルギーのMöbius不変なエネルギー密度による別表現, 日本数学会2017年度秋季総合分科会 函数方程式分科会, 山形大学, 2017年9月12日.
- 2. S. Blatt, 長澤 壯之, MöbiusエネルギーのMöbius不変な離散化と分解, 日本数学会2017年度秋季総合分科会 函数方程式分科会, 山形大学, 2017年9月12日.
- 3. 石関 彩, 長澤 壯之, 一般化されたO'Haraエネルギーの分解について, 日本数学会2018年度年会 函数方程式分科会, 東京大学, 2018年3月19日.
- 4. 長澤 壯之, 中村 恒平, 平面閉曲線に対する等周比を用いた補間不等式とその非局所曲率流への応用, 日本数学会2018年度秋季総合分科会 函数方程式分科会, 岡山大学, 2018年9月26日.
- 5, S. Blatt, 石関 彩, 長澤 壯之, MöbiusエネルギーにΓ-収束するMöbius不変な離散化, 日本数学会 2019年度年会 函数方程式分科会, 東京工業大学, 2019年3月17日.
- 6. 長澤 壯之, 一般化されたO'Haraエネルギーに対する余弦公式, 日本数学会2019年度秋季総合分科会 函数方程式分科会, 金沢大学, 2019年9月17日.
- 7. 川上 翔矢, 長澤 壯之, O'Haraエネルギーの変分公式の評価について, 日本数学会 2020年度年会 函数方程式分科会, 日本大学, 2020年3月17日.
- 8. 石関 彩, 長澤 壯之, 分解されたMöbiusエネルギーの上界・下界と連続度評価, 日本数学会 2020年度年会 函数方程式分科会, 日本大学, 2020年3月17日.
- 9. 長澤 壯之, 中村 恒平, 一般回転数の平面閉曲線に対する非局所曲率流の漸近解析, 日本数学会 2020年度年会 函数方程式分科会, 日本大学, 2020年3月17日.
- 10. 石関 彩, 長澤 壯之, 結び目と絡み目Möbiusエネルギー: 分解定理、余弦公式とMöbius不変性, 日本数学会 2022年度年会 函数方程式分科会, 埼玉大学, 2022年3月28日.
- 11. 石関 彩, 長澤 壯之, 絡み目のMöbiusエネルギーの極限としての結び目のMöbiusエネルギー, 日本数学会 2022年度年会 函数方程式分科会, 埼玉大学, 2022年3月28日.
- 12. 長澤 壯之、非局所曲率流の存在時間の下界評価と爆発レート, 日本数学会 2023年度年会 函数方程式論分科会, 中央大学, 2023年3月16日.
- 13. 長澤 壯之, Möbiusエネルギーの分解と波動写像, 日本数学会2023年度年会函数方程式分科会, 中央大学, 2023年3月16日. (特別講演)
研究集会講演
- 1 T. Nagasawa, A Möbius invariant discretization and decomposition of the Möbius energy, 国際研究集会 "Recent Topics on Energy of Knots'', 埼玉大学, 2017年7月24日. (招待講演)
- 2. T. Nagasawa, A Möbius invariant discretization and decomposition of the Möbius energy, 1st Workshop on Geometric Curvature Functionals and Discretization, Steinfeld, 2017年9月26日. (招待講演)
- 3. 長澤 壯之, MöbiusエネルギーのMöbius不変な離散化と分解, 第7回室蘭非線形解析研究会, 室蘭工業大学, 2017年12月8日. (招待講演)
- 4. 長澤 壯之, O'Haraエネルギーの分解とその帰結, 第7回室蘭非線形解析研究会, 室蘭工業大学, 2017年12月9日. (招待講演)
- 5. T. Nagasawa, Recent topics on O'Hara's energies of knots, Saga Workshop on Partial Differential Equations, 佐賀大学, 2018年3月5日. (招待講演)
- 6. 長澤 壯之, メビウス・エネルギーの構造保存離散化と分解, 研究集会「数学と現象in長瀞」, 長瀞, 2018年8月29日.
- 7. 長澤 壯之, Möbiusエネルギー: 入門と最近の話題, 界面現象の数理・モデリング研究合宿2018, 軽井沢, 2018年9月20日. (チュートリアル講演)
- 8. T. Nagasawa, Interpolation between the isoperimetric ratio and curvature for plane curves and an application to curvature flows with non-local terms, Viscosity Solutions and Related Topics, 東北大学, 2018年11月22日. (招待講演)
- 9. 長澤 壯之, 一般化されたO'Haraエネルギーの分解とその帰結, 第16回浜松偏微分方程式研究集会, 静岡大学, 2018年12月15日. (招待講演)
- 10. 長澤 壯之, 一般回転数の平面閉曲線に対する非局所曲率流の漸近解析, 第15回非線型の諸問題, 熊本大学, 2019年9月14日. (招待講演)
- 11. 長澤 壯之, 解析学的手法による結び目のエネルギーへのアプローチ, 研究集会「微分方程式の総合的研究」, 東京工業大学, 2019年12月21日. (招待講演)
- 12. T. Nagasawa, Asymptotic analysis for non-local curvature flows for plane curves with general rotation number, Mini-symposium: Nonlinear Geometric Partial Differential Equations, 沖縄科学技術大学院大学, 2020年2月7日. (招待講演)
- 13. T. Nagasawa, Upper and lower bounds and modulus of continuity of decomposed Möbius energies, 第45回偏微分方程式札幌シンポジウム (zoom開催), 北海道大学, 2020年8月19日. (招待講演)
- 14. T. Nagasawa, The Möbius energies of knots and links: Decomposition, the cosine formula, and their Möbius invariance, The 13th Nagoya Workshop on Differential Equations (zoom開催), 名古屋大学, 2022年3月16日. (招待講演)
- 15. 長澤 壯之, 結び目と絡み目に対するエネルギーについて：分解定理、余弦公式とメビウス不変性, RIMS共同研究(公開型)「偏微分方程式の臨界現象と正則性理論及び漸近解析」, 京都大学数理解析研究所, 2022年6月3日. (招待講演)
- 16. A. Ishizeki, T. Nagasawa, Möbius energy for knots and links, and wave maps, The 13th MSJ-SI "Differential Geometry and Integrable Systems": The 5th International Workshop Geometry of Submanifolds and Integrable Systems, かがわ国際会議場, 2022年11月30日. (招待講演)
- 17. T. Nagasawa, Decomposition of the O'Hara energy, 今井淳先生還暦記念研究集会 "Energies of Knots, Residues of Manifolds and Related Topics", 千葉大学, 2023年3月18日. (招待講演)
- 18. T. Nagasawa, The Möbius energy for knots as a limit of that for links, Workshop Critical Exponent and Nonlinear Partial Differential Equations, 東京理科大学, 2023年3月25日. (招待講演).
セミナー等での講演
- 1. 長澤 壯之, MöbiusエネルギーのMöbius不変な離散化と分解, 東京大学数値解析セミナー#107, 東京大学, 2018年10月15日.
- 2. T. Nagasawa, Large-time behavior of curvature flows with non-local terms for plane curves － an application of interpolation between the isoperimetric ratio and curvature, Salzburg University Analysis Seminar, Salzburg, 2018年12月4日.
- 3. 長澤 壯之, 一般化されたO'Haraエネルギーに対する余弦公式, 第49回南大阪応用数学セミナー, 大阪市立大学, 2019年4月13日.
- 4. 長澤 壯之, O'Haraエネルギー: 入門と最近の話題, 第41回発展方程式若手セミナー, 伊香保, 2019年8月27日. (チュートリアル講演)
- 5. 長澤 壯之, 一般回転数の平面閉曲線に対する非局所曲率流の漸近解析, 応用解析研究会, 早稲田大学, 2020年7月18日.
- 6. 長澤 壯之, O'Haraエネルギーの分解と評価, 東北大学理学部数学科談話会 (zoom開催), 東北大学, 2020年11月30日.
- 7. 長澤 壯之, 結び目と絡み目に対するメビウス・エネルギーのメビウス不変分解について, 第64回早稲田双曲幾何幾何学的群論セミナー, 早稲田大学, 2022年5月20日.
- 8. 長澤 壯之, 結び目と絡み目に対するメビウス・エネルギーと波動写像, 九州関数方程式セミナー, 九州大学, 2022年10月21日.
- 9. 長澤 壯之, 結び目と絡み目に対するメビウス・エネルギーと波動写像, 第37回さいたま数理解析セミナー, JA共催埼玉ビル, さいたま, 2022年11月5日.
理学部TOPIX
